¿Qué es una función?

Antes que nada, empezaremos definiendo que es una función.

Función: Es la relación biunívoca, la cual depende de la variable independiente con la dependiente mediante una regla de correspondencia.

Una vez definida la función, nos dirijamos a su clasificación, la cual seria:

Funciones algebraicas y funciones trascendentales. 

Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas son funciones que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.


Las funciones algebraicas se dividen en:

• Constante

• Lineal

• Cuadrática

• Cúbica

• Polinomial

• Racional

• Valor absoluto

• Radical

Función Constante

Es una función del tipo f (x)=k donde k es un número real cualquiera. El valor de f (x) es siempre k independientemente del valor de x.

Las funciones constantes cortan el eje vertical en el valor de la constante y son paralelas al eje horizontal (no lo cortan).

Ejemplo:

f (x)=2

Función lineal

Es la función de variable real que tiene por ecuación general y=mx cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. El valor de m corresponde a un número real y es llamado pendiente, está mide la inclinación de la recta respecto del eje de abscisas.

• Si m es positivo (m>0) la recta pasa por el primer y tercer cuadrante.

• Si m es negativo (m<0) la recta pasa por el segundo y cuarto cuadrante.

• Si m es cero (m=0) la recta es horizontal y coincide con el eje de las abscisas.

La pendiente de una recta también puede ser calculada a partir de las coordenadas de un punto de la recta para una función lineal y de las coordenadas de dos puntos en general para una recta cualquiera, dados dos puntos de una recta se puede calcular la pendiente de está mediante la expresión m= y2−y1/x2−x1

Ejemplo:

Dada la siguiente recta que pasa por el punto (2,-1) calcular su pendiente

Tomando en cuenta el punto A (2,-1) y que la recta pasa por el origen se aplica la expresión m= y2−y1/x2−x1 teniendo así m=−1−0/2−0=−1/2

Función cuadrática

Una función cuadrática es una variable de una función polinómica definida por f ( x ) = Ax^2 + Bx + C. También se da el caso que se le llame “Trinomio Cuadrado Perfecto”. La gráfica de una función cuadrática es una parábola, la cual es un tipo de curva de dos dimensiones.

También se denomina función cuadrática a funciones definidas por polinomios cuadráticos de más de una variable, por ejemplo:

F(x)= Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E

La función del coeficiente a en la ecuación general es de hacer la parábola "más amplia" o "más delgada", o de darle la vuelta (si es negativa).
Si el coeficiente de x^2 es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.  

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales (A2+Bx+C=0). Son denotadas habitualmente como: X1 y X2 dependiendo del valor del discriminante Δ definido como Δ = B^2 - 4AC.

El discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo.

Hay tres formas de escribir una función cuadrática:

• Forma Desarrollada: corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito como Ax^2 + B + C.
• Forma Canónica: Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

F(x) = A (x+h) ^2 –k 

• siendo A el coeficiente principal y el par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola

• Forma Factorizada: Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como F(x) = A (x – x1) (x- x2) 

Teorema fundamental del trinomio cuadrado:
El trinomio cuadrado real tiene un valor extremo que se consigue cuando X = - b/2a; este valor resulta mínimo si       a > 0, y máximo si a < 0, si existe un Y máx no existe un Y min y viceversa.

Vídeo de apoyo:

Función cúbica

Se define como el polinomio de tercer grado; es decir, que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x^3), dicho polinomio se expresa de la forma:

f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D; 

donde A, B, C y D son números reales con A ≠ 0. También puede ser escrito como:

f(x) = A (x + B) ^3 + C. 

La representación gráfica de la función cúbica es:

Características:

• El rango de la función es la recta real.

• La función es continua en todo su dominio.

• La función no tiene asíntotas.

• La función tiene punto de corte con el eje Y.

• La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

En la función

f(x) = (x + D)3 + E 

los parámetros D y E provocan las siguientes transformaciones:

• El parámetro D, produce una traslación del gráfico de la función y=x3 en dirección del eje de las "x".
• Si D < 0 se traslada en el sentido positivo del eje "x".
• Si D > 0 se traslada en sentido negativo del eje "x".

• El parámetro E, produce una traslación del gráfico de la función y=x3 en dirección del eje de las "y".
• Si E > 0 se traslada en el sentido positivo del eje "y".
• Si E < 0 se traslada en sentido negativo del eje "y".

Una función cúbica puede tener de tres a una raíz. Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0).

Derivada de la función cúbica: 

Integral de la función cúbica es:

Como graficar una función cubica en el siguiente vídeo;

Función polinomial

Es una función de la forma:

Donde

Son números reales  y n es un número entero no negativo. El dominio es el conjunto de números reales.

Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de la función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece en la variable x.

Por ejemplo:

f(x)= 2-3x^2

Gráficamente se expresa así:

Ejemplo.

f(x)=2x^3 – 3x + 1

Gráficamente se expresa así:

Función racional

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios.

Una función racional es una función de la forma:

R(x)=p(x)/q(x)

Donde "p" y "q" son funciones polinomiales y "q" no es el polinomio de cero. El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los que el denominador "q" es cero.

Si R(x)=p(x)/q(x) es una función racional y si "p" y "q" no tienen factores comunes, entonces se dice que la función racional "R" está en los términos mínimos o simplificados. Para una función racional R(x)=p(x)/q(x) simplificada, los ceros del numerador, si los hay, son las intersecciones en "x" de la gráfica de "R", por lo que tendría un papel importante en dicha gráfica. Los ceros del denominador de "R" (es decir, los números "x", si los hay, para los que q(x)=0), aunque no estén en el dominio de "R", también tienen un papel importante en la gráfica de "R".

Por ejemplo:

H(x)= 1/x^2

El dominio de H(x)= 1/x^2 es el conjunto de todos los números reales "x". La gráfica no tiene intersecciones y, porque "x" nunca puede ser cero. La gráfica no tiene intersección "x" porque la ecuación H(x)=0 no tiene solución. Por el tanto, la gráfica H no cruza los ejes coordenados dado que:

H(-x) =1/(-x) ^2= H(x)

H es una función par, de manera que su gráfica es simétrica respecto del eje y.

La tabla 1 muestra el comportamiento de H(x)= 1/x^2 para números positivos x seleccionados (se usará simetría para obtener la gráfica de H cuando x<0). De los primeros tres renglones de la tabla 1, se ve que cuando los valores de x se acercan a cero, los valores de H(x) son cada vez más grandes. Cuando esto ocurre, se dice que H es no acotada en dirección positiva. Esto se simboliza por H→∞ En cálculo, los límites se usan para transmitir estas ideas. Ahí se usa el símbolo

que se interpreta como el límite de H(x) cuando x tiende a cero es igual a infinito, lo que significa que H(x)→∞ cuando x→0

Gráficamente se expresa así:

Función de Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto se escribe entre barras verticales.

Recordando que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia. La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calcula.

2. Se forman intervalos (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

Ejemplo:

Graficar la función:            f(x)= |x-1|

Se le da valores a X y se sustituyen en la fórmula para obtener el valor de Y.

*Recordando que al ser un valor absoluto al final siempre será positivo.

Así queda la gráfica una vez ubicados los puntos en el plano.

Algunas aplicaciones que se le dan al valor absoluto son:

• Valores existentes entre 2 números.
• Saber una distancia a recorrer en un viaje sin importar la dirección.
• Para hallar el intervalo de una temperatura. Entre cuantos grados centígrados hace reacción cierto objeto.
• Capacidades volumétricas de un objeto.

En el siguiente vídeo te explica como graficar valor absoluto

Función Radical

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. 

La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.

En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función se considera únicamente la raíz positiva del radicando.(Si la expresión algebraica de la función fuera entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos) En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada sólo está definida para valores positivos del radicando.

Ejemplo:

Graficar la función : f(x)=(x-2)^1/2

• Se le da valores a X tomando como inicio el Dominio positivo como se dijo antes.
• Se sustituye X en la función para obtener los valores de Y.
•  Se hace la gráfica.

Vídeo de apoyo para graficar radicales

Funciones trascendentes

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Las trascendentales se dividen en tres:

• Función exponencial
• Funciones logarítmicas
• Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales

Los exponentes surgieron en las matemáticas para que existiera un método que expresara el producto de varios factores semejantes de una manera corta y sencilla. Ahora pasemos a la definición matemática de lo que es una función exponencial.

Se le llama función exponencial a todas aquellas que son de la forma f(x) = b^x, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente.

Esta definición exige un requisito muy importante para que la función sea considerada de tipo exponencial. El requisito es el siguiente.

• Que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1)

Esta condición se debe de aplicar ya que si la base es igual a 1 la función se convertiría en una función constante. De igual manera no puede haber una base negativa ya que funciones como f(x) = (-5)^1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de las funciones exponenciales lo forman el conjunto de números reales, y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

Ejemplos:

En este caso las bases tienen una relación entre sí.

4^{2x - 5} = 64

4^{2x - 5} = 4³

Se puede aplicar la propiedad siguiente: si a^{n =} a^m entonces:

n = m

2x-5 = 3

2x = 3 + 5

2x = 8 àx = 8/2 àx = 4

En caso de que no tengan ninguna familiaridad las bases entre sí, se toman logaritmos:

             7^^{3 – x} = 5^^{x + 1}

                Log 7^^{3 – x} = Log 5^^{x + 1}

Por propiedad de los logaritmos: 

Log_a b^^c = c *Log_a b

Por lo tanto: 

(3-x) Log 7 = (x-1) Log 5

Se aplica la propiedad distributiva: 

3 Log 7 - x Log 7 = x Log 5 + Log 5

Agrupando términos: 

3 Log 7 - Log 5 = x Log 5 +x Log 7

Obtener factor común de “x”:  

3Log7 – Log5 = x(Log5+Log7)

3Log7 – Log5 / Log5+Log7 = x

Por propiedades de los logaritmos el 3 que está multiplicándolo pasa como exponente.

Log7³ – Log5 / Log5 + Log7 = x  

à Log343 – Log5 / Log5 + Log7 = x

Se toma la resta de logaritmos:

(– Log5 / Log5 + Log7 = x)

y se toma como logaritmo de un cociente, lo cual se apoya en la siguiente propiedad: 

Log A – Log B = Log (A/B) 

La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto: 

Log A + Log B = Log (A*B).

X= Log (343/5) / Log(35) → x

Funciones logarítmicas

Para esta función, tendremos principalmente que definir al logaritmo.

Logaritmo: Exponente al cual se necesita elevar una cantidad positiva para obtener como resultado un cierto número.

El logaritmo de un número es el exponente al cual tiene que elevarse la base para llegar a dicho número.

Además de logaritmo también existe el logaritmo neperiano o natural, el cual es el logaritmo que tiene por base el número “e” (2,718281828).

Función logarítmica: Es la función inversa de la función exponencial, dicha función está definida únicamente sobre los números positivos, ya que los números negativos y el cero no tiene logaritmo, las funciones logarítmicas más usuales son las de base “10” y la de base “e”. La base tiene que ser diferente de 1 y mayor que 0.

La función logarítmica cuenta con un dominio y un rango.

Dominio: Las funciones logarítmicas tienen un dominio, el cual es el conjunto de todos los números reales positivos, está restringido puesto que no puede tomar valores de x menores que cero, o igual que cero. (0, +∞).

Rango: El rango de la función logarítmica es el intervalo abierto (-∞, +∞).

Sea la función y=log10x, su tabulación y gráfica respectivas son:

Sea la función y=ln x, su tabulación y grafica respectivas son:

Ahora tenemos la función y=log0.5 x

Respecto a las gráficas anteriores, se concluye lo siguiente:

• El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos (0, +∞).

• El rango es un intervalo abierto (-∞, +∞).

• No cruza el eje y, siempre corta el eje x en el punto (1,0), y pasa por el punto (a,1)
• Siempre es creciente si a>1 y es decreciente si 0<a<1.
• La función crece más rápido si la base es cada vez mayor y la decrece cada vez más rápido si la base es cada vez menor.
• Es continua.

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

• Función logarítmica del producto:

• Función logarítmica de la división:

• Función logarítmica del inverso multiplicativo:

• Función logarítmica de la potencia:

Vídeo de apoyo, como graficar funciones logarítmicas:

Funciones trigonométricas

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para un mayor entendimiento analicemos cada función individualmente.

Función seno: Se denomina función seno, y se denota por   “f (x) = sen x” a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto(a) y la hipotenusa (c).

Función coseno: La función coseno, que se denota por 

f (x) = cos x

es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

 

Función tangente: Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tan x, siendo x la variable independiente expresada en radianes. La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Funciones trigonométricas inversas

Cosecante: Es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1. La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).

Cotangente: Es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, por lo tanto, tan α · cot α=1. La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

Secante: Es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es decir sec α · cos α=1. La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).