Los exponentes surgieron en las
matemáticas para que existiera un método que expresara el producto de varios
factores semejantes de una manera corta y sencilla. Ahora pasemos a la
definición matemática de lo que es una función exponencial.
Se le llama función exponencial a todas aquellas que son de la
forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el
exponente la variable independiente.
Esta definición exige un
requisito muy importante para que la función sea considerada de tipo
exponencial. El requisito es el siguiente.
- Que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1)
Esta condición se debe de aplicar
ya que si la base es igual a 1 la función se convertiría en una función
constante. De igual manera no puede haber una base negativa ya que funciones
como f(x) = (-5)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de las funciones
exponenciales lo forman el conjunto de números reales, y su recorrido está
representado por el conjunto de los números positivos.
Ejemplos:
En este caso las bases tienen una relación entre sí.
42x - 5 = 64
42x - 5 = 43
Se puede aplicar la propiedad siguiente: si an =
am entonces:
n = m
2x-5 = 3
2x = 3 + 5
2x = 8 àx = 8/2 àx = 4
En caso de que no tengan ninguna familiaridad las bases
entre sí, se toman logaritmos:
7^3 – x = 5^x + 1
Log 7^3 – x = Log 5^x
+ 1
Por propiedad de los logaritmos:
Loga b^c = c *Loga
b
Por lo tanto:
(3-x) Log 7 = (x-1) Log 5
Se aplica la propiedad distributiva:
3 Log 7 - x Log 7 = x Log 5 + Log 5
Agrupando términos:
3 Log 7 - Log 5 = x Log 5 +x Log 7
Obtener factor común de “x”:
3Log7 – Log5 = x(Log5+Log7)
3Log7 – Log5 / Log5+Log7 = x
Por propiedades de los logaritmos el 3 que está multiplicándolo pasa como
exponente.
Log73 – Log5 / Log5 + Log7 = x
à Log343 – Log5 / Log5 + Log7 = x
Se toma la resta de logaritmos:
(– Log5 / Log5 + Log7 =
x)
y se toma como logaritmo de un cociente, lo cual se apoya en la siguiente
propiedad:
Log A – Log B
= Log (A/B)
La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de
un producto:
Log A + Log
B = Log (A*B).
X=
Log (343/5) / Log(35) → x